

\documentclass[twoside,a4paper]{article}
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% some common command
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\newcommand{\avg}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{\difFrac}[2]{\frac{\dif #1}{\dif #2}}
\newcommand{\pdfFrac}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
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\newcommand{\Erel}{E_{\mathrm{rel}}}

\newtheorem{Theorem}{定理}[section]
\newtheorem{Definition}{定义}[section]
\newtheorem{Lemma}{引理}
\newtheorem{Corollary}{推论}

\newcounter{comment}[section]

\title{纠错}
\author{庞雷, 颜嘉图, 王何宇, 鲁硕, 关博仁, 胡双,施吉胤}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item 第 4 页, 右栏, 第 9 行到第 10 行:

... we write $ME_0 < \eta$, $ME_1 < \eta$, ...

应该改为:

... we write $ME_0 \leq \eta$, $ME_1 \leq \eta$, ...

评论: 这里根据前文(第七行) 
\begin{equation}
  \label{eq:initialcondition}
  \max(ME_1,ME_0)=\eta<1,
\end{equation}
知必有 $ME_1 = \eta $ 或 $ME_0 = \eta$, 因此小于号不对, 应该改成小于等
于. 之后步骤中的 $<$ 也自然需要替换成 $\leq$. 但不影响最终结论的成立. 

\item 第 5 页, 左栏, 第 3 行:
  \begin{equation}
    B \leq \left(2 m_\alpha\right)^{1 + r_1^1 + r_1^2 + \cdots + r_1^{n - N}},
  \end{equation}

  应该改为

\begin{equation}
  \label{eq:trueexpansion}
  \begin{split}
    B&:=m_{N+1}^{r_1^{n-N-1}}m_{N+2}^{r_1^{n-N-2}}\cdots m_{n-1}^{r_1^1}m_n^1\\
    &\leq (2m_{\alpha})^{1}(\frac{1}{2}m_{\alpha})^{r_1}\cdots m_{N+1}^{r_1^{n-N-1}}\\
    &\leq 2^{1 - r_1 + r_1^2 -\cdots + (-r_1)^{n - N - 1}}\cdot m_{\alpha}^{1+r_1+r_1^2+\cdots r_1^{n - N - 1}}\\
    &\leq 2^{\sum_{0}^{n - N - 1}(-r_1)^i}\cdot m_{\alpha}^{\sum_{0}^{n - N - 1}r_1^i},
  \end{split}
\end{equation}
其中奇数指数项使用 $m_{\alpha}/2$ 来进行放缩. 由式(\ref{eq:trueexpansion})可知 $B$ 依旧是收敛的.  

评论: 在利用第 4 页 (1.25) 式 对 $B$ 的放缩中, 将所有 $m_n$ 放缩为了
$2 m_{\alpha}$. 而由于 $r_1 < 0$, 对于所有 $n$ 为奇数的项, 指数为负数不能
这样放缩. 应改为(\ref{eq:trueexpansion}).

\item
%\section{Corollary 1.25}
%\subsection{error 1}
评论: 在推 (1.26) 的过程中, 需要用到 $M \rightarrow c$ 这一条件. 因此
若用本来 $K$ 的表达式, 则需要 $\epsilon\rightarrow 0$ 才能满足式
(1.26). 若将 $K$ 的表达式中的 $c$ 改为 Theorem 1.15 中的 $M$ 则不需要
要求 $\epsilon\rightarrow 0$, 更符合本推论所描述的给定 $\epsilon$, 迭
代若干步后使误差小于 $\epsilon$.

\item %\subsection{error 2}
评论: 证明式 (1.27) 时, 利用 Theorem 1.24 中结论
\begin{equation}
  \label{eq:1}
  ME_n \leq (ME_0)^{\frac{r_0^n - r_1^n}{\sqrt{5}}}.
\end{equation}
注意到式 (\ref{eq:1}) 中 $r_1 = (1 - \sqrt{5}) / 2$ 是一个负数, 因此无
法直接像书上证明中将 $r_1^n$ 放缩掉.

由于 $\lvert r_1\rvert < 1$,
我们可以有
\begin{equation}
  \label{eq:true}
  ME_n\leq(ME_0)^{\frac{r_0^n + 1}{\sqrt{5}}},
\end{equation}
从而当 $\epsilon$ 和 $\lvert x_0 - \alpha\rvert$ 足够小时, 有
\begin{equation}
  \label{eq:2}
  r_0^j \leq \frac{\sqrt{5}K - 1}{r_0},
\end{equation}
因此有
\begin{equation}
  \label{eq:3}
  j = \lceil
  \log_{r_0}(K - \frac{1}{\sqrt{5}}) + \mathrm{log}_{r_0}\frac{\sqrt{5}}{r_0}\rceil
  \leq\lceil \log_{r_0}K\rceil + 1.
\end{equation}

\item 第6页右栏，1.8.1节习题2,题目应当改为
\begin{equation}
  n\ge\frac{\log(b_{0}-a_{0})-\log\epsilon-\log a_{0}}{\log 2}.
\end{equation}
原因在于，二分法输出的近似解为二分区间两个端点之一，且无法通过二分法算法本身判定程序输出距离真实解$\tilde{x}$更近或是更远。

\item 第7页左栏，1.8.1节习题4，题目中$C$同样和真实解$x^{*}$有关。推导过程如下：
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    &x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_0)}\\
    \Rightarrow&x_{n+1}-x^{*}=x_{n}-x^{*}-\frac{f(x_{n})-f(x^{*})}{f'(x_0)}\\
    \Rightarrow&\frac{x_{n+1}-x^{*}}{x_{n}-x^{*}}=1-\frac{f(x_{n})-f(x^{*})}{(x_{n}-x^{*})f'(x_0)}\\
    \Rightarrow&\frac{x_{n+1}-x^{*}}{x_{n}-x^{*}}=1-\frac{f'(\xi(x_{n},x^{*}))}{f'(x_{0})}.
  \end{aligned}
\end{equation}
微分中值定理决定的$\xi$既与$x_{n}$有关，也和$x^{*}$有关，所以常数$C$也与真实解相关。

\item 第 12 页, 左栏, 第 10 行:

... bisequenes given by...

应该改为:

... bisequences given by ...

评论: 这里单词拼写错误。

\item 第 10 页，右栏，正中间 Lemma.2.13:

Lemma.2.13 (2.13)式的证明有些突兀，在此做一些补充。我们令$q_{x}(u)=(u-x)^{j}$，其中$j=1,\cdots,n$(把$x$看作参数)，有$p_{n}(q_{x};u)\equiv q(u).$从而$\sum_{k=0}^{n}(x_{k}-x)^{j}l_{k}(u)\equiv (u-x)^{j}$，令$u=x$，有$\sum_{k=0}^{n}(x_{k}-x)^{j}l_{k}(x)\equiv 0$。
\end{enumerate}
\end{document}

%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: t
%%% End: 
